莫利定理怎么证明

莫利定理怎么证明

证法一： 　　在△ABR中，由正弦定理，得AR=csinβ/sin(α+β)。 　　不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AR= 　　（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= 　　2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）. 　　同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β) 　　在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ. 　　这是一个关于α，β，γ的对称式，同理可得PQ^2 ，PR^2 有相同的对称性，故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形。 　　证法二： 　　∵AE：AC=sinγ：sin（a+γ）， 　　AF：AB=sinβ：sin（a+β） ， 　　AB：AC=sin3γ：sin3β， 　　∴AE:AF=（ACsin（a+γ）/sinγ）：（ABsin（a+β）/sinβ）， 　　而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ）， 　　∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β)， 　　∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ， 　　同理∠CED=60°+a， 　　∴∠DEF=60°， 　　∴△DEF为正三角形。