数列极限的定义到底是什么意思，还有n>N是什么意思

数列极限的定义到底是什么意思，还有n>N是什么意思

∀ε>0，∃N∈N*，当n>N时，|An-A|<ε，这个式子表达的意义就是：随便给一个正数ε，都有一个对应的正整数N，当n比N大后，数列中的项An和一个常数的距离就小于这个正数ε。

当ε取得很大的时候，那么很显然，这个N就可以不用那么大，就能满足条件；当ε取得很小的时候，那么N可能要取很大才能满足条件。

因为ε可以取任何正数，那么自然地，我们可以让它无限地小，无限地接近0，于是An和A的距离就无限接近于0，两者也就无限地趋于相等——而这时候，N显然也应该无限地增大才能满足这个要求。

1、∀ε>0

就是任意给一个正数ε。这一个正数可以任意地大，或者任意地小，总之它就是一个不加任何限定的正数。

2、∃N∈N*

存在一个正整数N。这一个句话是接着上面的那一句“任意给一个正数ε”来的，相当于上面那一句话给这一句话加了一个限制条件。

任意给一个正数ε，对于每一个这样给定的ε来说）都存在一个对应的正整数N。换句话说，这里的N是严格受ε影响的，相当于N是关于ε的一个函数，它们之间不是相互独立的。

扩展资料

用定义证明数列｛2^n/n!｝的极限是0。

套用极限的定义，任意给一个ε>0，要使得对于一个正整数N，当n大于N时，满足|2^n/n!-0|<ε，于是现在的问题就是找到这个与ε有关的N就行。

查看上面这个不等式，去掉绝对值，得到了：2^n/n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*...*(2/n)<ε

因为只要找到一个这样的N就行了，并不需要精确地找到这个N的最小值，所以我们完全可以将上面的不等式的左侧粗略地放缩一下，并令放缩的结果恒小于ε：

2^n/n!=(2/1)*(2/2)*(2/3)*(2/4)*...*(2/n)<2*(2/n)<ε

解上面的不等式，得n>4/ε

所以这时，我们就找到了一个潜在的N＝4/ε。但是由于ε是随便取的，不能保证4/ε是一个整数，于是我们只需要给这个式子加一个高斯取整即可，并且为了保证取整之后的N大于等于4/ε，我们再为它加上一个1，亦即：N=[4/ε]+1

所以总上，把整个证明连起来就是：∀ε>0，∃(N=[4/ε]+1)∈N*，当n>N时，|2^n/n!-0|<ε，于是按照极限定义，就证明了这个数列极限是0。

参考资料来源：百度百科-数列极限